A direct construction of first integrals for certain non-linear dynamical systems

W. Sarlet; L.Y. Bahar

doi:10.1016/0020-7462(80)90007-4

A direct, constructive approach to the problem of finding first integrals of certain non-linear, second order ordinary differential equations is presented. The idea is motivated by the construction of the energy integral for the equations of motion of the corresponding conservative systems. Although the method developed for the class of equations studied herein is elementary, it yields the same results as the more advanced group-theoretical methods, such as the use of symmetries] in the context of Noether's theorem. The approach reveals some interesting features when it is specialized to the case of linear equations. Finally, a two-dimensional example is considered by extending the methodology developed for scalar equations to their vector counterparts. It is shown that, as a consequence, a first integral which is independent of the energy integral exists for a particular Hamiltonian of the Contopoulos type. On presente une methode directe et constructive pour trouver des integrales premieres d'une certaine classe d'equations differentielles ordinaires de seconde ordre et du type non-lineaire. L'idee generale est inspiree sur la maniere de construire l'integrale d'energie du systeme conservatif correspondant. Pour la classe d'equations etudiee, la methode developee ici, quoique elementaire, donne les memes resultats que des methodes plus avancees comme l'emploi de symmetries dans le contexte du theoreme de Noether. Des aspects interessants se revelent pour le cas special d'equations lineaires. Enfin, la methodologie developee pour des equations scalaires est generalisee, afin d'etre applicable a des systemes d'equations. Un example de dimension deux est traite, dans lequel on montre qu'un Hamiltonien particulier du type de Contopoulos admet une integrale premiere independante de l'integrale d'energie. Ein direktes aufbauendes Verfahren zur Auffindung der ersten Integrale bestimmter, nichtlinearer, gewöhnlicher Differenzialgleichungen zweiter Ordnung wird vorgestellt. Den Anstoss zu diesem Verfahren gab die Konstruktion des Energieintegrals für die Bewegungsgleichungen der zugehörigen konservativen Systeme. Obwohl die Methode für die hier behandelte Klasse von Gleichungen elementar ist, erzielt sie dennoch dieselben Ergebnisse wie die fortgeschritteneren gruppen theoret i sehen Verfahren, wie z.B. die Verwendung von Symmetrien im Zusammenhang mit dem Noetherschen Theorem. Die Methode zeigt einige interesante Einzelheiten, wenn sie auf den Fall linearer Gleichungen spezialisiert wird. Ein zweidimensionales Beispiel wird behandelt, wobei das für skalare Gleichungen hergeleitete Verfahren auf deren vektorielle Gegenstücke ausgeweitet wird. Es wird gezeigt, dass als Folge für einen bestimmten Hamil tonischen Ausdruck Contopoulosscher Art ein erstes Integral existiert, das von dem Energieintegral unabhängig ist.

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