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Quadratic integrals for linear nonconservative systems and their connection with the inverse problem of Lagrangian dynamics
Journal article   Peer reviewed

Quadratic integrals for linear nonconservative systems and their connection with the inverse problem of Lagrangian dynamics

Willy Sarlet and Leon Y. Bahar
International journal of non-linear mechanics, v 16(3), pp 271-281
1981
DOI: https://doi.org/10.1016/0020-7462(81)90040-8

Abstract

The direct method for the construction of first integrals, developed in a previous paper, is applied to a system of second-order ordinary differential equations with time-varying coefficients. The connection between the existence of a Lagrangian and the problem of finding quadratic integrals, surmised in previous papers because of specific results, is rigorously established. Finally, the approach is illustrated by obtaining all the known quadratic integrals for a time-dependent n-dimensional harmonic oscillator from a single expression. On applique la méthode directe pour construire des intégrales premières, qui a été établie dans un article précédent, à un système linéaire d'équations différentielles ordinaires du seconde ordre. Cette méthode produit un système d'équations différentielles matricielles pour la construction d'intégrales premières quadratiques. Puis, on étudie le rapport entre l'existence d'un Lagrangien et le problème d'établir des intégrales quadratiques. Ceci est accompli de manière indirecte, en deux étapes. D'abord on considère quelques restrictions supplémentaires, qui se produisent assez naturellement, et qui font que l'existence d'une intégrale quadratique implique une condition de commutativité généralisée, identique à celle dont on a prouvé la suffisance pour l'existence d'un Lagrangien. Après, on introduit des matrices nouvelles qui charactérisent la manière de laquelle le problème général se distingue de ce cas spécial. Cela entraîne une nouvelle formulation des équations différentielles pour la détermination d'une intégrale quadratique. Ces équations nouvelles suggèrent la réduction du système linéaire donné à sa forme canonique. Comme illustration, on détermine de manière très succincte toutes les intégrales quadratiques connues pour un oscillateur harmonique à n dimensions, dont les fréquences dépendent du temps. Die direkte Methode für die Entwicklung erster Integrale, die in einer vorhergehenden Arbeit beschrieben wurde, wird auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit zeitveränderlichen Koeffizienten angewendet. Die Verbindung zwischen der Existenz eines Lagrangeschen Ausdrucks und dem Problem quadratische Integrale aufzufinden wird streng aufgestellt. Wegen besonderer Ergebnisse wurde diese Verbindung in früheren Arbeiten vermutet. Die Methode wird illustriert, indem alle bekannten quadratischen Integrale eines zeitabhängigen n-dimensionalen harmonischen Schwingers von einem einzelnen Ausdruck bestimmt werden.

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