Weighted posets and the enriched monomial basis of QSym

Ekaterina Vassilieva; Darij Grinberg

Gessel's fundamental and Stembridge's peak functions are the generating functions for (enriched) P-partitions on labelled chains. They are also the bases of two significant subalgebras of formal power series, respectively the ring of quasisymmetric functions (QSym) and the algebra of peaks. Hsiao introduced the monomial peak functions, a basis of the algebra of peaks indexed by odd integer compositions whose relation to peak functions mimics the one between the monomial and fundamental bases of QSym. We show that the extension of monomial peaks to any composition is a new basis of QSym and generalise Hsiao's results including the product rule. To this end we introduce a weighted variant of posets and study their generating functions. Résumé. Les fonctions de Gessel et de Stembridge sont les fonctions génératrices des P-partitions (enrichies) sur des chaînes étiquetées. Ce sont aussi les bases de deux sous-algèbres des séries formelles, l'anneau des fonctions quasisymétriques (QSym) et l'algèbre des pics. Hsiao a introduit les monômes de pic, une base de l'algèbre de pics indexée par des compositions d'entier impaires dont la relation aux fonctions de pics imite celle entre les bases monomiales et fondamentales de QSym. Nous montrons que leur extension à n'importe quelle composition est une nouvelle base de QSym et généralisons les résultats de Hsiao, inclus la règle du produit. A cette fin, nous introduisons une variante pondérée des posets et étudions leurs fonctions génératrices.

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